\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
La identidad (3.2) se puede demostrar usando la f\'ormula multinomial para 
 desarrollar el \'ultimo t\'ermino,  $(\sum p_i)^{n-k}$. 
 Solamente hay que hacer un simple cambio en los \'{\i}ndices de la sumatoria.
 (m\'as detalles m\'as adelante, en la discusi\'on de (3.3))
 De (3.2) se obtiene (3.1) inmediatamente. De esta forma no se requiere usar 
 inducci\'on.
 
La identidad (3.3) se puede obtener de la manera siguiente.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_m$ indeterminadas. Definimos $y_i=1-x_i$,
 para $1 \le i \le m$. 
Es f\'acil demostrar la identidad

$1-x_1x_2 \cdots x_m = y_1x_2\cdots x_m+y_2x_3 \cdots x_m +\cdots +
y_{m-1}x_m + y_m$

Entonces, usando la f\'ormula multinomial obtenemos que
 $$(1-x_1x_2 \cdots x_m)^{n-k} = 
 \sum_{r_i} \binom{n-k}{r_1,r_2,\ldots,r_m} \prod_{i=1}^m y_i^{r_i}
 \prod_{i=2}^m x_i^{s_{i-1}} $$
 donde la suma es sobre los multi-\'{\i}ndices $(r_1,r_2,\ldots,r_m)$ de 
 enteros no-negativos con $\sum r_i=n-k$, y $s_i=r_1+r_2+\cdots+r_i$.

La relaci\'on entre los $r_i$ y los \'{\i}ndices $j_i$ que tu usas es 
$j_i=n-s_i$. 

Con un poco m\'as de trabajo algebraico se obtiene (3.3), poniendo 
 $x_i=p_i^{\tau_i}$. (Us\'e $\tau$ en lugar de tu $r$ g\'otica).


\end{document}





