La identidad (3.2) se puede demostrar usando la fórmula multinomial para desarrollar el último término, (∑ p_{i})^{n−k}. Solamente hay que hacer un simple cambio en los índices de la sumatoria. (más detalles más adelante, en la discusión de (3.3)) De (3.2) se obtiene (3.1) inmediatamente. De esta forma no se requiere usar inducción.

La identidad (3.3) se puede obtener de la manera siguiente.

Sean x_{1}, x_{2}, …, x_{m} indeterminadas. Definimos y_{i} = 1 − x_{i}, para 1 ≤ i ≤ m. Es fácil demostrar la identidad

1 − x_{1}x_{2} ⋯ x_{m} = y_{1}x_{2} ⋯ x_{m} + y_{2}x_{3} ⋯ x_{m} + ⋯ + y_{m−1}x_{m} + y_{m} Entonces, usando la fórmula multinomial obtenemos que

(1 − x_{1}x_{2} ⋯ x_{m})^{n−k} = ∑_{r_{i}} \binom{n − k}{r_{1}, r_{2}, …, r_{m}} ∏_{i=1}^{m} y_{i}^{r_{i}} ∏_{i=2}^{m} x_{i}^{s_{i−1}}

donde la suma es sobre los multi-índices (r_{1}, r_{2}, …, r_{m}) de enteros no-negativos con ∑ r_{i} = n − k, y s_{i} = r_{1} + r_{2} + ⋯ + r_{i}.

La relación entre los r_{i} y los índices j_{i} que tu usas es j_{i} = n − s_{i}.

Con un poco más de trabajo algebraico se obtiene (3.3), poniendo x_{i} = p_{i}^{τ_{i}}. (Usé τ en lugar de tu r gótica).